Особенность работы деления с остатком для отрицательных чисел

Python • 11 апр. 2026 г. • Николай

Что такое остаток от деления?

Сегодня поговорим про очень важную особенность работы деления с остатком для отрицательных чисел в Python. Для начала я бы убедился, что вы точно понимаете, что значит “остаток от деления”. Ответье на вопрос:

Квиз

Чему равно `13 % 5?`

Определение остатка от деления

Очень часто, новички ошибаются в таких вопросах. Если вы ответили 6, то вероятно вы перепутали остаток от дробной части. Все понимают, что $\frac{13}{5}=2.6$ и по ошибке думают, что $0.6$ относится к остатку от деления. На деле $0.6$ это дробная часть. Давайте поделим 13 на 5 в столбик:

13−103

13 ÷ 5 = 2, остаток 3

Мы получаем 2 - это целая часть от деления и 3 - остаток от деления. Согласны, что $13 = 5 * 2 + 3$ ? То есть, чтобы получить исходное число мы должны делитель умножить на частное от деления и прибавить остаток от деления. Это можно записать вот такой формулой:

$a = b * c + d$ , где $a$ - делимое, $b$ - делитель, $c$ - частное, $d$ - остаток

Разбираемся с делением отрицательных чисел

Что будет если мы добавим минус к числу и поделить опять?

−13−10−3

5−2

-13 ÷ 5 = -2, остаток -3

На всякий случай проговорю. Мы берем частное именно -2, потому что нам надо $-13 - (-10) = -3$ , если бы частное было 2, то $-13 - 10 = -23$

Получаем целую часть и остаток такие же, но с минусом. Все вроде логично. Теперь перейдем к Python.

В этом языке программирования есть 3 разных деления: / - обычное, // - целочисленное, % - с остатком. Так вот, весь нюанс с остатками завязан на работе целочисленного деления.

Все дело в том, что когда мы делим целочисленно, Python округляет результат в меньшую сторону. Логично звучит, 13 // 5 = 2 ( $\frac{13}{5}=2.6$ -> в меньшую $= 2$ ).

А теперь давайте -13 разделим целочисленно.

Квиз

Чему равно `-13 // 5?`

Если вы правильно ответили, молодцы. Давайте разберемся почему именно такой ответ. Давайте проследим $\frac{-13}{5}=-2.6$ -> в меньшую будет $3$ . (влево по числовой прямой, -2 будет больше чем -2,6) Окей, это понятно, а причем тут тогда деление с остатком? Вернемся к формуле и подставим туда значения:

$-13 = 5 * (-3) + d$

Что нужно прибавить к -15, чтобы получить -13? Правильно, 2. Поэтому в Python -13 % 5 = 2, а не -3, как в школьной математике.

Можете сами убедиться, запустив программу ниже

Где это важно?

Особенно важно это в задании 17 (и может даже в 9, ведь есть некоторые прототипы с отрицательными числа. Так же не исключаю вариат, что в каком-то другом задании может пригодиться). Если мы хотим узнать, на какую цифру(ы) оканчивается число. Все знают, что если поделить число с остатком на 10, то мы получим его последнюю цифру (по факту мы получим последнюю цифру в 10 СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, если поделить с остатком на 2, то мы получим последнюю цифру в 2 СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ и т.д). И к примеру, если мы делим -123 % 10, мы ожидаем, что число оканчивается на 3, но мы получаем вместо 3 (или -3) цифру 7.

Поэтому, держим в голове, что если мы хотим проверить на какую цифру(ы) оканчивается число, нужно делить его по модулю, то есть abs(-123) % 10. Именно модуль числа, а не модуль всего выражения! Ошибкой будет писать так: abs(-123 % 10). Потому что -123 % 10 в Python даст 7. Какая разница нам, если мы будем брать модуль всего результата, 7 и abs(7) эквиваленты. Поэтому убираем минус только у самого числа: abs(-123) % 10

И на всякий случай: проверка кратности не нуждается в модуле. То есть, если мы хотим проверить, что число -123 кратно 3, нам не нужно брать модуль, мы в любом случае получим остаток, равный нулю если кратно, и не ноль в противном случае

Почему так сделали?

Назло математикам? На самом деле, определений остатка несколько. Первое, что мы знаем из школьного курса. Второе, это определение по формуле $a = b * c + d$ , где $0 \leq d < |b|$ , то есть остаток всегда положительный и не равен делителю. В языках C/C++, Java, C#, Pascal используется первое определение остатка, тогда как в Python Гвидо Ван Россум сознательно выбрал второе определение остатка, потому что посчитал его более правильным: например, a % b всегда даёт результат в диапазоне [0, b) при положительном b, что полезно для циклических индексов, хеширования, работы с днями недели и т.д.

Закрепление материала

Допишите условие так, чтобы программа выводила “Да”, если число n одновременно кратно 3 И оканчивается на цифру 9. Иначе - “Нет”.